Nombre dérivé : définition et notations

Définition (Rappel)

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
Soit \(a\) un réel de l'intervalle \(I\) et \(h\) un réel non nul tel que \(a+h\) est aussi dans l'intervalle \(I\).
Si le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) tend vers un nombre réel lorsque \(h\) tend vers \(0\), alors on dit que la fonction \(f\) est dérivable en \(a\).
Ce nombre limite s'appelle le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\).

Interprétation graphique

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère du plan et \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) les points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de coordonnées respectives \((a\,;f(a))\) et \((a+h\,;f(a+h))\).

• Le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) est le coefficient directeur de la sécante \(\mathrm{(AB)}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\).
• Le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\).

Notations

Plusieurs notations peuvent être utilisées pour le nombre dérivé.

• La notation de Lagrange : \(f'(a)\), qui se lit «\(f\) prime de \(a\) ». Elle est utilisée surtout en mathématiques.
  
• La notation de Leibniz : \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\), qui se lit « la dérivée de \(f\) par rapport à \(x\) en \(a\) ».
  Cette notation, très utilisée en physique, fait référence au taux de variation de la fonction \(f\) par rapport à la variable \(x\) pour de petites variations de la variable \(x\).